返回目录 圆周率 π

圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何量的关键值，其定义为圆的周长与直径的比值。π也等于圆的面积与半径平方的比值。

圆周率取值：
a. π=3.14;
b. π=22/7(3.1428571428571);
c. π=355/113(3.141592920354);
d. π=3.1415926535897932384626433832795...(超过之后的位数就较少为人知了);
e. π=2143除以22以后再开根号两次可以得到3.14159265...;
f. π≈ 3.141 5926 5358 9793 2384 6264 3383 2795 0288 4197 1693 9937 5105 8209 7494 4592 3078 1640 6286 2089 9862 8034 8253 4211 7067 9821 4808 6513 2823 ....

一般工程或天文运算不需要成千上万位精确度的π，因为40位精确度的π已经足以计算误差小于一个质子大小的银河系圆周。现今精度高π应用于计算机软硬件的测试，以不同的算法计算π而结果误差大代表计算机系统可能出问题。

在Google公司2005年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）
排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926
3月14日为美国所订的圆周率日

返回目录 自然对数的底 e

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler's number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数。它的数值约是（小数点后20位， A001113）：

e=2.71828182845904523536⋯

在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的e十亿美元。（顺便一提，Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关）
Google也是首先在硅谷心脏地带，接着在马萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在e的连续数字中第一个发现的十位质数.com）。解决了这问题（第一个e中的十位质数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。
著名计算机科学家高德纳的软件Metafont的版本号码趋向e（就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等）。

返回目录 乘法口诀

返回目录 6174(Kaprekar变幻)

6174猜想 ，1955年，卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换：任给出四位数k0,用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m,再减去它的反序数rev(m),得出数k1=m-rev(m),然后，继续对k1重复上述变换，得数k2.如此进行下去，卡普耶卡发现，无论k0是多大的四位数， 只要四个数字不全相同，最多进行7次上述变换，就会出现四位数6174.

因数分解：2*3^2*7^3，科学家称这个数为“自我拷贝数”。

例如:(k0=5298)
k1=9852-2589=7263,
k2=7632-2367=5265,
k3=6552-2556=3996,
k4=9963-3699=6264,
k5=6642-2466=4176,
k6=7641-1467=6174.

比如:(5200)
5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

返回目录 142857-神奇的数字

一般性质
142857：最小的十进制循环数
142857是合数，质因数分解的解是：142857 = 3×3×3×11×13×37

特殊性质
用142857分别乘以1、2、3、4、5、6这几个数，其积仍由原来的1、4、2、8、5、7六个数组成，只是排列不同。
142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
142857×7=999999

[和]关系
再把142857这个数字分解成两组数字，142，857 这两个数字之和得出142+857=999
再把142857分解成三组数字，14，28，57 这三组数字之和得出，14+28+57=99
最后我们把142857x142857，结果是142857×142857=20408122449
再把20408122449分解两组数字，20408和122449 它们之和是：20408+122449=142857

1至9除以7
用1至9除以7之后获得的循环小数，循环的数字也是142857：
1 ÷ 7 = 0.142857(…)
2 ÷ 7 = 0.285714(…)
3 ÷ 7 = 0.428571(…)
4 ÷ 7 = 0.571428(…)
5 ÷ 7 = 0.714285(…)
6 ÷ 7 = 0.857142(…)
7 ÷ 7 = 1.000000
8 ÷ 7 = 1.142857(…)
9 ÷ 7 = 1.285714(…)

22除以7
用22除以7更可获得圆周率古代的近似值：
22 ÷ 7 = 3.142857(…)

(另圣数：1366560)
科特罗的“圣数”公式：1366560＝（144000＋7200＋360＋260＋20）×9
1366560/36/26/4=365（地球公转的天数）
1366560/36/26/16=91.25（每一季的天数）
1366560/26/18/5=584（金星历年的天数）
1366560/36/26/20=73（神秘数字73的由来）
金星历年即绕太阳一周所需时间为５８４天，与现代测算出的５８４．９２天相差无几
秘密一步步正在被揭开

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质数定义
质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）；否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

100以内的质数
有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100内共有25个质数。

最小最大4位质数
1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097……9901, 9907, 9923, 9929, 9931, 9941, 9949, 9967, 9973。

最小最大5位质数
10007, 10009, 10037, 10039, 10061, 10067, 10069, 10079, 10091, 10093, 10099……99901, 99907, 99923, 99929, 99961, 99971, 99989, 99991。

梅森质数
17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：当2^p-1 中的p是质数时，2^p-1是质数。他验算出：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2,047=23×89却不是素数。
梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193,707,721×761,838,257,287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
迄今为止，人类仅发现48个梅森质数。由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素质分布的猜想，这一重要猜想被国际上称为“周氏猜测”。[3]

回文素数
是一个既是素数又是回文数的整数。回文素数与记数系统的进位制有关。

最初几个回文素数：11，101，131，151，181，191，313，353，373，383，727，757，787，797，919，929……两位回文素数1个，三位回文素数15个，五位回文素数93个，七位回文素数668个，九位回文素数5172个。

金字塔回文素数
在这个金字塔上，下面每一个素数都是上面素数的基础上，前面和后面加2位数。

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水仙花数,自幂数

水仙花数
是指一个 n 位数 ( n≥3 )，它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。（例如：1^3 + 5^3+ 3^3 = 153）

自幂数
水仙花数只是自幂数的一种，严格来说三位数的3次幂数才成为水仙花数。
附：其他位数的自幂数名字
一位自幂数：独身数
两位自幂数：没有
三位自幂数：水仙花数
四位自幂数：四叶玫瑰数
五位自幂数：五角星数
六位自幂数：六合数
七位自幂数：北斗七星数
八位自幂数：八仙数
九位自幂数：九九重阳数
十位自幂数：十全十美数

常见水仙花数
水仙花数又称阿姆斯特朗数。
三位的水仙花数共有4个：153，370，371，407；四位的四叶玫瑰数共有3个：1634，8208，9474；
五位的五角星数共有3个：54748，92727，93084；
六位的六合数只有1个：548834；
七位的北斗七星数共有4个：1741725，4210818，9800817，9926315；
八位的八仙花数共有3个：24678050，24678051，88593477
九位的自幂数数共有3个： 146511208，472335975，534494836，912985153。
十位的自幂数数共有1个：4679307774。

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完全数
完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”[1] 。各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。
例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。

1.所有的完全数都是三角形数
例如：
6=1+2+3
28=1+2+3+...+6+7
496=1+2+3+...+30+31
8128=1+2+3…+126+127

2.所有的完全数的倒数都是调和数
例如：
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

3.可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如：
28=1³+3^3
496=1^3+3^3+5^3+7^3
8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3
33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和
不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如：
6=2^1+2^2
28=2^2+2^3+2^4
496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8
8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12
33550336=2^12+2^13+……+2^24

5.完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）

6.各位数字辗转式相加个位数是1
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。例如：
28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1
33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1

7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1
除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。
28/3 商9，余1
28/9 商3，余1
28/27 商1，余1
496/3 商165，余1
496/9 商55，余1
8128/3 商2709，余1
8128/9 商903，余1
8128/27 商301，余1

推导公式
大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。
例如p=2，是一个质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。
例如p=3，是一个质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数。
例如p=5，是一个质数，2^p-1=31也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=31X16=496是完全数。
但是2^p-1什么条件下才是质数呢?
事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。到2013年2月6日为止，人类只发现了48个梅森素数，较小的有3、7、31、127等。